已知双曲线x^2/a^2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 12:10:39
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a大于0，b大于0）的离心率e大于1＋根号2，左右焦点分别为F1，F2，左准线l，能否在双曲线左支上找到一点P，使PF1是P到l的距离d与PF2的比例中项

让我来回答一个简单易懂的！

由题意知 |PF1|^2=|PF2|*d
而d又等于|PF1|\e
且|PF2|-|PF1|=2a

代入得：|PF2|=(2a)\(1-e)

又因为|PF2|>=a+c=a+ae

所以得到方程e^2-2e-1<=0
又因为e>1
所以该方程的解为(1,1+根号2]

但是题中e>1+根号2

所以找不出这样的P点

解：我们不如反过来求e的取值范围使得等比中项存在.
因为|PF1|²=d|PF2|
所以|PF2|/|PF1|=|PF1|/d=e
所以|PF2|=e|PF1|……(1)
由定义,有|PF2|-|PF1|=2a……(2)
联立(1)、(2)解得|PF1|=2a/(e-1),|PF2|=2ea/(e-1)
在△PF1F2中,有|PF1|+|PF2|≥2c
所以2a/(e-1)+2ea/(e-1)≥2c
即(e+1)/(e-1)≥e,又因为e＞1
所以1＜e≤1+√2
与题设矛盾,故没有这样的点P.